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文章评论

重点说明：

当对各部分的面积求和时，可以得到图上半部分三角形 B 和 C 的排列。 1 导致明显损失一平方单位。

矩形焦点悖论
Ris.1

这是由于阴影部分的面积造成的：在图形的顶部有 15 个阴影方块，在底部有 16 个。用两个覆盖它们的特殊类型的图形替换阴影部分，我们得到了一个新的、引人注目的图形。悖论的形式。现在我们面前有一个矩形，可以将其切成 5 部分，然后交换它们，组成一个新的矩形，尽管它的线性尺寸保持不变，但有一个面积为的孔内部出现一个正方形单元（图2）。

矩形焦点悖论
Ris.2

将一个图形转换为具有相同外部尺寸但在周边内有孔的另一图形的可能性基于以下内容。如果 X 点距离矩形的底边正好三个单位，距离矩形的边正好五个单位，那么对角线将不会穿过它。然而，连接点 X 与矩形相对顶点的折线与对角线的偏差非常小，几乎无法察觉。将图下半部分的三角形B和C互换后，图形的各部分将沿对角线略有重叠。

另一方面，如果在图的上部，我们将连接矩形相对顶点的线视为精确绘制的对角线，则 XW 线将略长于三个单位。因此，第二个矩形将比看起来稍高。在第一种情况下，缺失的区域单元可以被认为是从一个角分布到另一个角并沿着对角线形成重叠。在第二种情况下，缺失的正方形分布在矩形的宽度上。正如我们从上一篇中已经知道的那样，所有此类悖论都可以归因于这两种构造选项之一。在这两种情况下，数字的误差都很小，以至于完全看不见。

这个悖论最优雅的形式是正方形，在重新分配部件并形成孔之后，它仍然是正方形。

已知这种正方形有无数的变体并且具有任意数量的正方形单元的孔。其中一些最有趣的如图所示。 3和4。

矩形焦点悖论
Ris.3

矩形焦点悖论
Ris.4

您可以指出一个简单的公式，将孔的大小与大三角形的比例联系起来。我们将要讨论的三种尺寸用 A、B 和 C 表示（图 5）。

矩形焦点悖论
Ris.5

以平方单位表示的孔的面积等于 A 和 C 的乘积与尺寸 B 最接近的倍数之间的差。因此，在上一个示例中，A 和 C 的乘积为 25。 B到25的尺寸是24，所以孔是一平方单位。无论绘制的是实际对角线还是图中的 X 点，该规则都适用。 5整齐地应用在方形网格线的交叉点处。如果对角线（正如它应该的那样）被绘制为严格的直线，或者如果点 X 恰好位于方形网格的顶点之一，则不会获得悖论。在这些情况下，该公式给出了零平方单位的孔，当然，这意味着根本没有孔。

作者：M.Gardner

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