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群论。 科学发现的历史和本质
拉格朗日较早地处理了根的置换群和 高斯. 但是，将概念的基本属性制定并应用于解决新的困难问题的人的优点是无可争辩的。 这是法国数学家伽罗瓦为群的概念所做的。 直到他的工作之后，它才成为数学家研究的课题。 Évariste Galois (1811–1832) 出生于 Bourg-la-Reine。 1823年，埃瓦里斯特被父母送到巴黎皇家学院学习。 在这里他对数学产生了兴趣，开始独立研究勒让德、欧拉、拉格朗日、高斯的著作。 拉格朗日的思想完全接管了伽罗瓦。 在他看来，就像曾经对亚伯一样，他已经找到了五次方程的解。 他尝试进入理工学院失败，但对勒让德和拉格朗日作品的了解还不够，伽罗瓦回到了大学。 在这里，幸福第一次笑了——他遇到了一位能够欣赏他的天才的老师。 理查德知道如何超越官方课程，他了解科学的进步，并试图拓宽学生的视野。 理查德对 Evariste 的评论很简单：“他只在高等数学领域工作。” 事实上，伽罗瓦在十七岁时就收到了第一个科学成果。 1829年，发表了他的笔记《关于周期连分数的定理证明》。 同时，伽罗瓦向巴黎科学院提交了另一项工作。 她在科莎家迷路了。 伽罗瓦试图重新进入理工学院，但再次失败。 不久之后，一个震惊年轻人的事件发生了：被政治对手追捕，他的父亲自杀了。 埃瓦里斯特遭遇的不幸不可避免地影响了他：他变得紧张和暴躁。 1829年，伽罗瓦进入师范学校。 它培训了教师职称的候选人。 埃瓦里斯特在这里进行了代数方程理论的研究，并于1830年将他的作品提交给了巴黎科学院的竞赛，他的命运掌握在科学院常务秘书傅里叶手中。 傅里叶开始阅读手稿，但很快就去世了。 第二份手稿和第一份手稿一样消失了。 在伽罗瓦的生活中，一个充满重要事件的时代到来了。 他加入了共和党，加入了“人民之友会”，并参加了国民警卫队的炮兵。 由于公开反对领导，他被师范学校开除。 14 年 1831 月 23 日，为了纪念攻占巴士底狱的下一个周年纪念日，共和党人的表现发生了。 警方逮捕了许多示威者，其中就有伽罗瓦。 对伽罗瓦的审判于 1831 年 9 月 XNUMX 日进行。 他被判处XNUMX个月监禁。 伽罗瓦在狱中继续他的研究。 30 年 1832 月 XNUMX 日上午，在让蒂伊镇的一场决斗中，伽罗瓦被一颗子弹击中腹部，身受重伤。 一天后他去世了。 伽罗瓦的数学著作，至少是那些幸存下来的，有六十小页长。 从来没有一部体积如此之小的作品为作者带来如此广泛的声誉。 1832 年，伽罗瓦在狱中制定了一个计划，该计划在他死后仅 XNUMX 年才出版。 但即使在二十世纪初，它也没有引起人们的浓厚兴趣，很快就被遗忘了。 只有延续了几代科学家工作的现代数学家，才最终实现了伽罗瓦的梦想。 “我恳求我的评委们至少阅读这几页，”伽罗瓦在他著名的回忆录开头说。 然而，伽罗瓦的思想是如此深刻和全面，以至于当时任何科学家都很难领会。 “......所以，我相信通过改进计算获得的简化（当然，我们指的是基本简化，而不是技术简化）根本不是无限的。数学家能够如此清楚地预见代数变换的时刻将会到来，仔细执行它们所花费的时间和纸张将不再有回报。我并不是说分析不能实现超出这种远见的任何新事物，但我认为没有它，所有的手段总有一天会是徒劳的。 让计算服从于自己的意志，对数学运算进行分组，学会根据难易程度而不是根据外部符号来分类——这些是我理解的未来数学家的任务，这就是道路我要拿。 不要将我所表现的激烈与一些数学家完全避免任何计算的愿望混为一谈。 他们没有使用代数公式，而是使用冗长的论据，并且除了数学转换的繁琐之外，他们还使用不适合执行此类任务的语言对这些转换进行口头描述的繁琐。 这些数学家落后了一百年。 这里没有任何事情发生。 这里我在做分析分析。 同时，现在已知的最复杂的变换（椭圆函数）仅被认为是特殊情况，非常有用甚至是必要的，但仍然不普遍，因此拒绝进一步进行更广泛的研究将是一个致命的错误。 此处概述的高级分析中提到的转换将实际执行并根据难易程度进行分类，而不是根据此处出现的功能类型进行分类的时候将会到来。 这里有必要注意“群数学运算”这个词。 伽罗瓦无疑是指群论。 首先，伽罗瓦对个别数学问题不感兴趣，而是对确定整个考虑链并指导逻辑思维过程的一般思想感兴趣。 他的证据基于一个深刻的理论，该理论允许您结合当时取得的所有成果，并确定未来很长一段时间的科学发展。 伽罗瓦逝世几十年后，德国数学家大卫希尔伯特将这一理论称为“建立了一定的概念框架”。 但无论给它起什么名字，显然它涵盖的知识领域非常广泛。 “在数学中，就像在任何其他科学中一样，”伽罗瓦写道，“此时此刻需要解决一些问题。这些是吸引高级思想家思想的紧迫问题，无论他们自己的意愿和意识如何。” Évariste Galois 研究的问题之一是代数方程的解。 如果我们只考虑具有数值系数的方程会发生什么？ 毕竟，尽管没有求解此类方程的通用公式，但每个单独方程的根都可以用根式表示。 如果不是呢？ 那么一定有一些符号可以让你确定这个方程是否以根式求解？ 这个标志是什么？ 伽罗瓦的第一个发现是他降低了它们含义的不确定程度，也就是说，他建立了这些根的一些“性质”。 第二个发现与伽罗瓦得到这个结果的方法有关。 伽罗瓦没有研究方程本身，而是研究了它的“群”，或者形象地说，它的“族”。 “一个群，”A. Dalma 写道，“是具有某些共同属性的对象的集合。例如，将实数视为此类对象。一组实数的一般属性是，当任意两个相乘时这个群的元素，我们也得到一个实数。在几何学中研究的平面上的运动可以作为“对象”出现，而不是实数；在这种情况下，该群的性质是任何两个运动的总和再次给出运动。从简单的例子传递到更复杂的例子，我们可以作为“对象”来选择对对象的一些操作。在这种情况下，组的主要属性将是任何两个操作的组合也是一个操作。伽罗瓦研究的正是这种情况，考虑到需要求解的方程，他将其关联到一组运算（不幸的是，我们无法在此处阐明这是如何完成的），并证明了方程的性质体现这个群体的特点。 由于不同的方程可能具有相同的组，因此考虑与它们对应的组而不是这些方程就足够了。 这一发现标志着数学发展现代阶段的开始。 无论该组由什么“对象”组成：数字、运动或操作——它们都可以被视为没有任何特定特征的抽象元素。 为了定义一个组，只需要制定必须遵循的一般规则，以便将一组给定的“对象”称为一个组。 目前，数学家称这样的规则为群公理，群论在于列出这些公理的所有逻辑结果。 同时，不断发现越来越多的新属性； 证明它们，数学家越来越深化了理论。 重要的是，无论是对象本身还是对它们的操作都没有以任何方式指定。 如果在此之后，在研究某个特定问题时，必须考虑一些特殊的数学或物理对象组成一个群，那么在一般理论的基础上，就可以预见它们的性质。 因此，群体理论提供了切实的资金节约； 此外，它为数学在研究工作中的应用开辟了新的可能性。 群概念的引入使数学家免于考虑许多不同理论的繁重任务。 原来，只需要挑出一个理论的“基本特征”，而且实际上它们都是完全相似的，用同一个词来指代它们就足够了，立刻就清楚了单独研究它们是没有意义的。 伽罗瓦致力于将新的统一引入到扩展的数学装置中。 首先，群论为数学语言带来了秩序。 从 XNUMX 世纪末开始，群论对数学分析、几何、力学乃至物理学的发展产生了巨大影响。 随后它渗透到数学的其他领域——李群出现在微分方程理论中，克莱因群出现在几何中。 力学和群中的伽利略群也出现了 洛伦兹 在相对论中。 作者：萨明 D.K.
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