代数基本定理。科学发现的历史和本质

代数基本定理。科学发现的历史和本质

最重要的科学发现

“以陈述形式表示的代数基本定理：代数方程的根数与其度数一样多，由 Girard 和笛卡尔, - 在他的书“在方程的世界”中的注释 V.A. 尼基福罗夫斯基。 - 它的公式，包括将具有实系数的代数多项式分解为实数线性和二次因子的乘积，属于 d'Alembert 和欧拉. Euler 在 1687 年 1759 月 1 日给 Nicholas I Bernoulli (1742–XNUMX) 的一封信中首次报道了这一点。由此得出实系数代数方程的根属于复数域。

d'Alembert (1746-1717) 在 1783 年首次证明了该定理。然而，d'Alembert 对代数基本定理的证明是分析的，而不是代数的。法国数学家使用了当时尚未形成的分析概念，如幂级数、无穷小。毫不奇怪，该定理的证明存在不准确之处，后来遭到了毁灭性的批评。高斯然后被遗忘了。

欧拉在证明代数基本定理方面迈出了重要的新一步。

莱昂哈德·欧拉 (Leonhard Euler, 1707–1783) 出生于巴塞尔。在家庭教育结束时，XNUMX 岁的伦纳德被父亲送到巴塞尔大学学习哲学。

除其他科目外，该学院还研究了初等数学和天文学，由约翰·伯努利（Johann Bernoulli）教授。伯努利很快就注意到了这位年轻听众的才华，并开始与他分开学习。

1723 年获得硕士学位后，在用拉丁文发表关于笛卡尔哲学的演讲后，牛顿之后，伦纳德在父亲的要求下，开始学习东方语言和神学。但他对数学越来越感兴趣。欧拉开始拜访他老师的家，他和约翰·伯努利的儿子尼古拉和丹尼尔之间建立了友谊，这在伦纳德的生活中发挥了非常重要的作用。

1725年，伯努利兄弟受邀成为圣彼得堡科学院院士。他们促成了欧拉移居俄罗斯的事实。

欧拉的发现，由于他活跃的通信，往往在出版之前就已广为人知，这使得他的名字越来越广为人知。 1727年，他在科学院的地位得到提高，开始以兼职院士的身份工作，即初级院士，1731年成为物理学教授，即科学院的正式院士。 1733 年，他获得了高等数学教席的职位，该职位之前由伯努利 (D. Bernoulli) 担任，伯努利今年返回巴塞尔。欧拉权威的增长独特地反映在他的老师约翰·伯努利给他的信中。 1728 年，伯努利向“最有学问、最有天赋的年轻人莱昂哈德·欧拉”致敬，在 1737 年，“最著名、最机智的数学家”，在 1745 年，“无与伦比的莱昂哈德·欧拉，数学家的领袖”。

1736 年，他出版了两卷分析力学。对这本书的需求很大。关于力学的各种问题已经写了很多文章，但还没有一篇关于力学的好论文。

1738 年，德语版的算术导论的两部分问世，1739 年，新的音乐理论问世。

1740 年底，俄罗斯的权力落入摄政王安娜·列奥波尔多夫娜及其随行人员手中。首都出现了令人担忧的情况。这时，普鲁士国王腓特烈二世决定重振建国莱布尼茨柏林的科学学会，多年来几乎不活跃。通过他在彼得堡的大使，国王邀请欧拉到柏林。欧拉认为“情况开始变得相当不确定”，接受了邀请。

在柏林，欧拉先是在他身边聚集了一个小型的科学学会，然后被邀请到新恢复的皇家科学院并被任命为数学系主任。 1743 年，他出版了五本回忆录，其中四本是关于数学的。其中一部作品在两个方面都引人注目。它指出了一种通过将有理分数分解为部分分数来对它们进行积分的方法，此外，还概述了对具有常系数的高阶线性常方程进行积分的常用方法。

一般来说，欧拉的大部分著作都致力于分析。欧拉如此简化和补充了在他之前开始的无穷小分析、函数积分、级数理论、微分方程的整个大部分内容，以至于它们获得了至今很大程度上仍然存在的形式。此外，欧拉开启了分析的全新篇章——变分法。他的这一创举很快被拉格朗日采纳，并形成了一门新的科学。

欧拉对代数基本定理的证明于 1751 年发表在“方程的虚根调查”一书中。

欧拉对该定理进行了最代数的证明。后来，他的主要思想被其他数学家重复和深化。因此，研究方程的方法首先由拉格朗日开发，然后成为伽罗瓦理论的一个组成部分。

主要定理是方程的所有根都属于复数域。为了证明这一点，欧拉建立了任何具有实数系数的多项式都可以扩展为实数线性或二次因子的乘积。

非实数的值，“欧拉称为虚数，”Nikiforovsky 写道，“并指出它们通常被认为是那些在和和乘积中成对给出实数的值。因此，如果有 2 m 虚数根，那么这将给出多项式表示中因子的 m 个实数二次方欧拉写道：“因此，据说每个不能分解为实质因数的方程总是具有二阶实因数。然而，据我所知，还没有人足够严格地证明这一观点的真实性。因此，我将努力给他一个无一例外地涵盖所有案件的证据。”

拉格朗日持有同样的概念，拉普拉斯和其他一些欧拉的追随者。高斯不同意她的看法。

欧拉根据连续函数的性质提出了三个定理。

1. 奇次方程至少有一个实根。如果有多个这样的根，那么它们的个数是奇数。

2. 偶数次方程要么有偶数个实根，要么根本没有实根。

3. 一个偶次方程，其中自由项为负，至少有两个不同符号的实根。

随后，欧拉证明了具有实数系数的多项式可分解为线性和二次实因式的定理......

在证明主定理时，欧拉建立了代数方程的两个性质：1）方程根的有理函数，它对根A的所有可能排列取不同的值，满足A次方程，系数其中用给定方程的系数合理地表示； 2）如果方程的根的有理函数相对于根的排列是不变的（不改变），那么它用原方程的系数有理地表示。

附言拉普拉斯在 1795 年的数学讲座中，跟随欧拉和拉格朗日，承认多项式的因式分解。同时，拉普拉斯证明了它们是真实的。

因此，欧拉、拉格朗日和拉普拉斯都在多项式分解域存在的假设上建立了代数基本定理的证明。

证明主定理的一个特殊角色属于“数学家之王”高斯。

卡尔·弗里德里希·高斯 (Carl Friedrich Gauss) 出生于不伦瑞克（1777-1855 年）。他从父亲的家庭继承了健康的身体，从母亲的家庭继承了聪明的才智。七岁时，卡尔·弗里德里希进入凯瑟琳民谣学校。 1788年，高斯进入体育馆。然而，它不教数学。古典语言在这里学习。高斯喜欢研究语言并取得如此大的进步，以至于他甚至不知道自己想成为什么——数学家还是语言学家。

他们在法庭上了解到高斯。 1791年，他被介绍给不伦瑞克公爵卡尔·威廉·斐迪南。男孩参观宫殿并用计数艺术招待朝臣。在公爵的赞助下，高斯于 1795 年 XNUMX 月进入哥廷根大学。起初，他只听语言学讲座，几乎不听数学讲座。但这并不意味着他不做数学。

1795 年，高斯对整数产生了浓厚的兴趣。同年秋天，高斯搬到哥廷根，字面上第一次吞下了落入他手中的文学作品：欧拉和拉格朗日的作品。

“30 年 1796 月 XNUMX 日，他迎来了创造性洗礼的日子。——F. Klein 写道，——高斯根据他的“原始”根源理论，已经有一段时间从事从统一中归一的根源。然后是早上醒来，他突然清醒地意识到，十七边形的构造遵循了他的理论……这一事件是高斯人生的转折点。他决定不投身于语言学，而只专注于数学。”

高斯的工作在很长一段时间内成为了数学发现不可企及的典范。非欧几里得几何的创始人之一雅诺斯·博利艾 (Janos Bolyai) 称其为“我们这个时代，甚至有史以来最辉煌的发现”。但这个发现很难理解！感谢伟大的挪威数学家阿贝尔写给祖国的信，证明了根式五次方程的不可解性，我们才知道他在研究高斯理论时所走过的艰难道路。 1825年，阿贝尔在德国写道：“即使高斯是最伟大的天才，他显然也没有努力让每个人立即理解这一点……”高斯的工作启发阿贝尔建立了一种理论，其中“有如此多精彩的定理”我简直不敢相信。” 毫无疑问，高斯也影响了伽罗瓦。

高斯本人对他对生命的第一次发现保持着动人的爱。

30 年 1796 月 8 日，也就是正则十七边形建成的那一天，高斯的日记开始了——一部关于他非凡发现的编年史。日记中的下一条记录出现在 XNUMX 月 XNUMX 日。它报道了二次互易定理的证明，他称之为“黄金”定理。该声明的特殊情况已被证明农场，欧拉，拉格朗日。欧拉提出了一个一般猜想，勒让德给出了不完整的证明。 8月XNUMX日，高斯找到了欧拉猜想的完整证明。然而，高斯还不知道他伟大的前辈们的工作。他一个人走过了通往“黄金定理”的整个艰难道路！

高斯在他 10 岁前一个月，仅用了 19 天就做出了两项重大发现！ “高斯现象”最令人惊讶的一个方面是，在他的第一部作品中，他实际上并没有依赖前人的成就，而是在短时间内重新发现了最伟大的数学家的著作。

1801年，高斯著名的《算术研究》问世。这本巨大的书（500 多页大版面）包含了高斯的主要成果。《算术研究》对数论和代数的进一步发展产生了巨大的影响。互易律仍然占据代数数论的中心位置之一。

在不伦瑞克，高斯没有机会了解算术研究工作所必需的文献。因此，他经常前往附近的赫尔姆施塔特，那里有一个很好的图书馆。在这里，1798 年，高斯准备了一篇专门证明代数基本定理的论文。

高斯留下了代数基本定理的四个证明。他在 1799 年发表的博士论文致力于第一个证明，题为“一个不变量的任何完整有理代数函数都可以分解为一阶和二阶实因子的定理的新证明”。

高斯并没有不注意欧拉的差距，最重要的是，他批评了问题的提法，即预先假设方程根的存在。

高斯的第一个证明，就像达朗贝尔的证明一样，是解析的。在他于 1815 年进行的第二次证明中，这位著名的数学家在预先假设方程的根存在的情况下，再次通过推理回到了对代数基本定理证明的批判。

高斯在介绍性段落中解释了对新证明的必要性：“尽管我在 16 年前出版的回忆录中给出的整个有理函数因式分解的证明在严格性和简单性方面没有任何不足之处，但它希望数学家不会认为我再次回到这个极其重要的问题，并从完全不同的原理开始，在纯粹的分析原理上构建第二个同样严格的证明是不可取的。应该注意的是，高斯所说的解析方法今天被称为代数方法。

为了证明，高斯使用了多项式展开域的构造。六十多年过去了，L Kronecker 还改进和发展了用于构造任何多项式展开域的高斯方法。随后，高斯又给出了代数基本定理的两个证明。第四个也是最后一个是指 1848 年。

欧拉、拉格朗日和高斯证明代数基本定理的主要结果，I.G. Bashmakov 认为，“代数基本定理的代数证明之所以有价值，恰恰是因为它们的实施开发了新的代数深度方法本身，并测试了已经创建的方法和技术的力量。”

作者：萨明 D.K.

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