对数。科学发现的历史和本质

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在整个 XNUMX 世纪，近似计算的数量迅速增加，主要是在天文学中。行星运动的研究需要大量的计算。天文学家可能会淹没在不可能的计算中。在金融和保险等其他领域也出现了明显的困难。主要困难是多值数的乘法和除法，尤其是三角量。

有时使用正弦和余弦表来减少乘法，使加法和减法更容易。还编制了一个多达 100 的平方表，借助它可以根据一定的规则进行乘法运算。

然而，这些方法并没有为该问题提供令人满意的解决方案。他们给他带来了对数表。

M.V. Chirikov 和 A.P. Yushkevich 写道：“对数的发现是基于 XNUMX 世纪末广为人知的级数性质。数学家们不止一次地注意到几何专业人士与算术级数之间的联系，《Psammit》中也提到过。” 阿基米德。另一个先决条件是将度的概念扩展到负指数和分数指数，这使得将刚才提到的联系转移到更一般的情况成为可能......

许多......作者指出，乘法、除法、求幂和开根在算术中以指数方式对应 - 以相同的顺序 - 加法、减法、乘法和除法。在这里，数字的对数作为给定基数必须提高以获得该数字的幂的指标的想法已经被隐藏了。仍然需要将具有通用项的级数的熟悉属性转移到任何实数指数。这将给出一个连续指数函数，取任何正值及其倒数对数。但这种具有深刻根本意义的思想是在几十年后才发展起来的。

大约十年后，纳皮尔和布尔吉独立发明了对数。他们的目标是相同的——希望提供一种新的方便的算术计算方法。事实证明，这种方法是不同的。纳皮尔用运动学的方式表达了对数函数，这使他从本质上进入了函数论几乎未被探索的领域。 Bürgi 仍然建立在考虑离散进展的基础上。应该指出的是，两者的对数定义都与现代的定义不同。

对数的第一位发明者，苏格兰男爵约翰纳皮尔（1550-1617），在爱丁堡的家中接受教育。然后，经过德国、法国和西班牙的旅行，XNUMX 岁时，他永久定居在爱丁堡附近的家族庄园。纳皮尔主要学习神学和数学，他从欧几里得、阿基米德、雷吉奥蒙塔努斯、哥白尼的著作中学习。

“为了发现对数，”Chirikov 和 Yushkevich 指出，“Neper 不迟于 1594 年出现，但仅仅在 1614 年后，他发表了他的“对惊人的对数表的描述”（0 年），其中包含了 Neper 对数的定义，它们的性质和90到1度间隔1619分钟的正弦和余弦的对数表，以及这些对数的差异，给出了切线的对数。他阐述了计算方法的理论结论和解释另一部作品中的表格，可能在“描述”之前准备，但在死后出版，在“建立一个惊人的对数表格”（XNUMX）中。让我们提到，在这两部作品中，纳皮尔还考虑了一些三角学问题。尤其是众所周知的是便于对数的“类比”，即纳皮尔比例用于求解球面三角形的两侧和它们之间的角度，以及两个角和相邻的一侧。

纳皮尔从一开始就为所有连续变化的三角量值（正弦和余弦）引入了对数的概念。在当时的数学状态下，当还没有无穷小微积分的分析仪器时，自然且唯一的手段就是对数的运动学定义。也许可以追溯到十四世纪牛津学派的影响和传统在这里也有影响。

纳皮尔对对数的定义基于运动学思想，将几何专业与其成员指标的算术级数之间的联系推广到连续量。

纳皮尔在著作“构造惊人的对数表”中提出了对数理论，该著作于 1619 年在死后出版，并于 1620 年由他的儿子罗伯特·纳皮尔重新出版。以下是其中的摘录：

“对数表是一张小表，通过非常简单的计算，您可以找出所有几何尺寸和运动。它被称为小是恰如其分的，因为它在体积上超过了正弦表，非常容易，因为它的帮助所有复杂的乘法、除法和根提取，以及所有一般的数字和运动，都是通过更容易的加法、减法和除以 XNUMX 来测量的。它由连续比例的数字组成。

16.如果从完整的正弦带和七个零添加了您的10000000位，从如此获得的数字（其10000000零件）中减去了它的数量，那么该系列可以很容易地扩展到整个正弦和正弦之间存在的几何比率中的一百个数字，而正弦和正文之间的数量比10000000和9999999.号和该系列均可延伸。

17. 第二个表格从完整的正弦开始，从六个加零到其他五十个数字按比例递减，这个比率最简单，可能最接近第一个表格的第一个和最后一个数字之间的比率。

由于第一表的第一个和最后一个数字是 10000000.0000000 和 9999900.004950，因此在这方面很难形成 100000 个比例数。一个接近且同时简单的比率是 99999 到 100000，可以通过在整个正弦上添加六个零并从前一个正弦中连续减去其第 9995001.222927 部分来以足够的精度继续该比率。除了第一个数字的全正弦之外，该表还包含另外 XNUMX 个比例数字，其中最后一个（如果您没记错的话）将是 XNUMX。

18. 第三个表由六十九列组成，每列有二十一个数字，其关系最简单，并且尽可能接近第二个表的第一个和最后一个成员之间的关系.

因此，它的第一列可以很容易地从带有五个添加零的完整正弦以及从后续数字中减去第 2000 部分来获得。

19. 所有列的第一个数字都是从完整的正弦值开始，并以最简单的比率添加四个零，并且接近第一列的第一个数字和最后一个数字之间存在的比率......

20. 在相同的比例下，从第一列的第二个数字到所有列的第二个数字，第三个到第三个，第四个到第四个，相应地从其余的到其余的部分。

因此，从前一列的任意数字中减去其百分之一，就可以得到下一列的同阶数字……

21 .... 这三个表（在它们被编译后）足以计算对数表。”

1620 年，瑞士人约斯特·布尔吉 (Jost Burgi，1552–1632)，一位技艺高超的机械师和钟表匠，出版了《算术和几何级数表，以及如何理解它们并在各种计算中有益地使用它们的全面说明》一书 (1620)。

正如布尔吉本人所写，他从几何级数中的乘法和算术中的加法之间的对应关系出发。问题是选择一个分母足够接近 XNUMX 的级数，以便它的项以足够小的间隔相互跟随，以进行实际计算。

然而，Bürgi 的桌子并没有得到显着的分布。他们无法与 Napier 的桌子竞争，后者更方便，当时已经广为人知。

严格来说，Napier 和 Burga 都没有对数的底，因为单位的对数不为零。很久以后，当我们已经切换到十进制和自然对数时，还没有制定对数作为给定底数的指标的定义。

它第一次出现在手册中，可能是在 W. Gardiner (1742) 中。然而，加德纳本人使用了数学老师 W. Jones 的论文。现代对数定义的广泛传播比其他人推广的更多欧拉，谁在这方面使用了“基础”一词。

“对数”一词属于纳皮尔（Napier），它源自希腊语“比率”和“数字”的组合，意思是“比率的数字”。尽管最初纳皮尔使用了不同的术语——“人工数字”。

Napier 的表格适用于三角函数计算，对于给定数字的运算不方便。为了消除这些缺点，纳皮尔提议编制对数表，1615 的对数取 1561，1631 的对数只取 XNUMX。他在与伦敦格雷什学院的数学教授亨利·布里格斯（Henry Briggs，XNUMX-XNUMX 年）讨论时提出了这个建议，后者于 XNUMX 年拜访了他，他本人也在思考如何改进对数表。由于健康状况不佳，纳皮尔无法参与实施他的计划，但他提出了布里格斯进一步开发的两种计算方法的想法。

Briguet 在纳皮尔去世的那一年发表了他苦心计算的第一个结果——“第一千对数”（1617 年）。这里给出了从 1 到 1000 的 1624 位数字的十进制对数。大多数素数的十进制对数是 Briguet 通过提取平方根找到的。后来，他已经成为牛津大学的教授，他发表了对数算术 (1)。这本书包含从 20 到 000 和从 90 到 000 的 100 位对数。

荷兰书商和数学家安德里安·弗拉克（Andrian Flakk，1600-1667 年）填补了剩余的空白。早些时候，布里格斯在格雷沙姆学院的同事、牛津大学毕业生埃德蒙·冈特 (Edmund Gunter) (1581-1626) 计算了七位十进制正弦和正切对数表，并在《三角形代码》(1620) 中发表了这些表。

最初几年内皮尔的发现获得了异常广泛的欢迎。许多数学家已经着手对数表的编制和改进。所以，开普勒 1624-1625 年在马尔堡，他应用对数来构建新的行星运动表。在纳皮尔描述（1618）第二版的附录中，还计算了几个自然对数。在这里你可以看到极限的引入方法。最有可能的是，这个添加属于 V. Ootred。很快，伦敦数学老师 John Spadell 出版了从 1 到 1000 的自然对数表。“自然对数”一词由 P.Mengoli (1659) 和稍后的 N.Mercator (1668) 提出。

计算表的实际意义非常大。但对数的发现也具有最深刻的理论意义。它将第一批发明者甚至无法梦想的研究变为现实，追求的目标只是促进和加速大数的算术和三角计算。尤其是纳皮尔的发现，开辟了通往新的超验功能领域的道路，有力地推动了分析的发展。

作者：萨明 D.K.

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