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微分和积分。 科学发现的历史和本质
很久之前 牛顿 и 莱布尼茨 许多哲学家和数学家处理无穷小问题，但仅限于最基本的结论。 甚至古希腊人在几何研究中也使用了极限方法，例如，他们通过这种方法计算了圆的面积。 古代最伟大的数学家对这种方法进行了特殊的发展 阿基米德，他在它的帮助下发现了许多非凡的定理。 开普勒 在这方面最接近牛顿的发现。 在买卖双方就几杯葡萄酒发生纯属世俗的争执之际，开普勒开始对桶形物体的容量进行几何测定。 在这些研究中，人们已经可以看到一个非常清晰的无穷小概念。 因此，开普勒认为圆的面积是无数个非常小的三角形的总和，或者更准确地说，是这样一个总和的极限。 后来，意大利数学家卡瓦列里提出了同样的问题。 尤其是 XNUMX 世纪的法国数学家罗伯瓦尔在这方面做了很多工作， 农场 и 帕斯卡. 但只有牛顿和后来的莱布尼茨创造了一种真正的方法，为数学科学的所有分支提供了巨大的推动力。 根据奥古斯特·孔德的说法，微分学或无穷小量的分析是架设在有限与无限、人与自然之间的一座桥梁：借助对有限的粗略分析，不可能深入了解自然法则。数量，因为本质上每一步都是无限的、连续的、变化的。 牛顿基于他之前在分析领域的发现创造了他的方法，但在最重要的问题上，他求助于几何和力学。 牛顿究竟何时发现他的新方法尚不清楚。 从这种方法与万有引力理论的密切联系来看，人们应该认为它是由牛顿在 1666 年至 1669 年间开发的，无论如何早于莱布尼茨在这一领域的首次发现。 “牛顿认为数学是物理研究的主要工具，”V.A. Nikiforovsky 指出，“并将其发展为许多进一步的应用。经过长时间的思考，他得出了基于运动概念的无穷小微积分；对他来说，数学并没有他认为几何图像——线、面、体——是运动的结果：线——点运动，面——线运动，体——运动表面运动。这些运动是按时间进行的，对于任意小的时间，一个点，例如任意小的路径都会经过。要求瞬时速度，即给定时刻的速度，需要找到路径的增量（用现代术语来说）与时间增量的比值，然后当时间的增量趋于零时，这个比值的极限，即取“最后的比值”。于是牛顿引入了寻找“最后的比率”，导数，他称之为流数…… ... 使用关于微分和积分运算的互逆性的定理，甚至巴罗都知道，以及许多函数的导数的知识使牛顿有机会获得积分（用他的术语来说，流利）。 如果不直接计算积分，牛顿将被积函数展开为幂级数并逐项积分。 将函数展开成级数，他最常用的是他发现的二项展开式，还应用了初等方法……” 科学家在创作他一生的主要著作《自然哲学的数学原理》时就已经对新的数学工具进行了测试。 当时，牛顿精通微分、积分、级数展开、微分方程积分和插值。 “牛顿，”V.A. Nikiforovsky 继续说，“在莱布尼茨之前发现了他的发现，但没有及时发表；他所有的数学著作都是在他成名后发表的。任意指数。1664 年，他准备了一份手稿，题为“以下句子足以通过运动解决问题”，其中包含数学的主要发现。手稿仍处于草稿形式，直到三百年后才出版。 在 1665 年写的《用无限项方程进行分析》中，牛顿阐述了他在无穷小级数学说中的结果，以及级数在方程解中的应用...... ...在 1670-1671 年，牛顿开始准备出版一部更完整的著作——“通量方法和无限级数”。 找不到出版商：当时，数学书籍带来了损失......在“通量方法”中，牛顿的教学作为一个系统：考虑通量的微积分，将它们应用于确定切线，找到极值、曲率、计算求积、用通量求解方程，这对应于现代微分方程”。 直到 1704 年，牛顿的第一部分析著作才问世——由他于 1665-1666 年撰写。 七年后，他们发表了“使用无限项方程进行分析”。 “通量方法”直到 1736 年作者去世后才见识。 很长一段时间内，牛顿甚至都没有怀疑德国莱布尼茨是否成功地处理了大陆上的类似问题，一时之间，在高度赞赏对方的优点的情况下，最终，科学家们卷入了一场关于发现无穷小微积分的优先级。 戈特弗里德·威廉·莱布尼茨 (Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646–1716) 出生于莱比锡。 莱布尼茨的母亲，照顾儿子的教育，把他送到尼古拉的学校，这在当时被认为是莱比锡最好的学校。 戈特弗里德整天坐在他父亲的图书馆里。 他不加选择地阅读柏拉图、亚里士多德、西塞罗、笛卡尔。 戈特弗里德还不到 XNUMX 岁，他就展示了一种没人怀疑他的才能，让学校的老师们惊叹不已。 他原来是个诗人——根据当时的概念，真正的诗人只能用拉丁语或希腊语写作。 十五岁时，戈特弗里德成为莱比锡大学的学生。 正式地，莱布尼茨被考虑在法学院，但法律科学的特殊圈子远不能满足他。 除了法学讲座外，他还勤奋地参加了许多其他的讲座，尤其是在哲学和数学方面。 为了完成他的数学教育，戈特弗里德去了以数学家魏格尔闻名的耶拿。 回到莱比锡，莱布尼茨出色地通过了“文科与世界智慧”即文学和哲学的硕士学位考试。 那时的戈特弗里德还不到 18 岁。 第二年，他暂时转向数学，撰写了《关于组合艺术的话语》。 1666 年秋天，莱布尼茨前往小纽伦堡共和国的大学城阿尔托夫。 在这里，5 年 1666 月 XNUMX 日，莱布尼茨出色地为他的博士论文“论纠缠物质”辩护。 1667 年，戈特弗里德前往美因茨见选帝侯，他立即被介绍给选帝侯。 五年来，莱布尼茨一直在美因茨宫廷担任要职，他一生中的这段时期是文学活动活跃的时期。 莱布尼茨写了许多哲学和政治内容的作品。 18 年 1672 月 XNUMX 日，莱布尼茨前往法国执行一项重要的外交任务。 在最短的时间内与巴黎数学家结识，为莱布尼茨提供了信息，尽管他的天才，如果没有这些信息，他永远无法在数学领域取得真正伟大的成就。 费马、帕斯卡和笛卡尔的学派对于未来的微积分发明者来说是必要的。 对于莱布尼茨来说，真正的数学是在 1675 年访问伦敦之后才开始的。 回到巴黎后，莱布尼茨将他的时间分配给了数学研究和哲学著作。 他的数学方向越来越胜过法律方向，现在精确科学比罗马律师的辩证法更能吸引他。 1676 年，莱布尼茨在巴黎逗留的最后一年，奠定了被称为“微积分”的伟大数学方法的第一个基础。 事实令人信服地证明，莱布尼茨虽然不知道通量的方法，但他是被牛顿的书信引导的。 另一方面，毫无疑问，莱布尼茨的发现，在普遍性、命名方便和方法的详细发展方面，已成为比牛顿的通量方法更强大和流行的分析工具。 即使是牛顿的同胞，长期以来更喜欢出于民族虚荣心的流动方法，也逐渐采用了莱布尼茨更方便的名称； 至于德国人和法国人，他们甚至对牛顿的方法关注得太少了，在其他情况下，牛顿的方法一直保留到今天。 莱布尼茨的数学方法与他后来的单子理论密切相关，单子是他试图构建宇宙的无穷小元素。 数学类比，即最大量和最小量理论在道德领域的应用，为莱布尼茨提供了他认为的道德哲学的指导思想。 莱布尼茨的政治活动很大程度上分散了他对数学的注意力。 尽管如此，他将所有空闲时间都用于处理他发明的微积分，并在 1677 年至 1684 年间成功地创建了一个全新的数学分支。 1684 年，莱布尼茨在《科学家论文集》上发表了对微积分原理的系统阐述。 他发表的所有论文，尤其是最后一篇论文，它比第一版《牛顿原理》的出版早了近三年，给科学带来了如此巨大的推动力，以至于目前甚至很难评估所进行的改革的全部意义。莱布尼茨在数学领域。 除了拥有自己的通量方法的牛顿之外，最优秀的法国和英国数学家脑海中模糊的想象突然变得清晰、清晰且普遍易于理解，这不能说是牛顿出色的方法。 “莱布尼茨，与具体的、经验主义的、谨慎的牛顿相比，”VP Kartsev 写道，“他是微积分领域的主要系统主义者，是一位大胆的创新者。现象。当然，这个雄心勃勃且不切实际的项目是无法实现的，但是，改变后，它变成了小微积分的通用符号系统，我们仍然使用它。他自由地用符号运算......他正确地认为逆运算的符号，并且像使用代数符号一样自由和自由地使用它们。他很容易对高阶导数进行操作，而牛顿则严格限制地引入高阶通量，如果需要解决特定问题的话。 莱布尼茨在他的微分和积分中看到了一种通用方法，有意识地寻求为以前未解决的问题的简化解决方案创建一个严格的算法。 另一方面，牛顿根本不关心公开他的方法。 他引入的象征意义只是为了“内部”、个人消费，他并没有严格遵守。 以下是苏联数学家 A. Shibanov 的观点：“英国科学家在他们伟大同胞无可争辩的权威面前鞠躬，随后将他的每一个笔触、他的科学活动的每一个最小细节，甚至是他为个人使用而引入的数学符号都作了经典。” 荷兰科学家 D.Ya 表示：“对牛顿的崇敬传统严重影响了英国科学，他的称号与莱布尼茨相比显得笨拙，阻碍了进步。” 斯特罗伊克。 在 1677 年 XNUMX 月写的一封信中，莱布尼茨直接向牛顿透露了他的微积分方法。 他没有回复莱布尼茨的信。 牛顿相信这个发现永远属于他。 只藏在他的脑袋里就够了。 这位科学家真诚地认为：及时发表并不带来任何权利。 在上帝面前，发现者永远是第一个发现的。 作者：萨明 D.K.
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