非欧几何。科学发现的历史和本质

非欧几何。科学发现的历史和本质

最重要的科学发现

上欧几里得的定义平行线是位于同一平面内且永远不会相交的直线，无论我们将它们延伸多远。

但是欧几里得最古老的评论家，波西多尼乌斯（公元前二世纪），双子座（公元前一世纪），托勒密（公元二世纪）——并不认为欧几里得的第五公设与欧几里得的其他公设和公理具有相同的证据，并尝试将其作为其他规定的结果进行推断，或者将欧几里得给出的平行定义替换为另一个定义。

XNUMX世纪下半叶莱布尼茨也批评欧几里得的主要规定。众所周知，他还想构建一个可以直接表达位置属性的纯几何分析，就像代数表达量级一样。

但直到 XNUMX 世纪上半叶，这一思想才开始应用于平行线问题，并在平行线理论中系统地执行了希腊数学家常用的反证法。

这个绝妙的想法属于 Saccheri。在他逝世那年出版的作品《欧几里德，从每一处得来》中，萨凯里以一个四边形为起点，该四边形的两条对边垂直于底边且彼此相等。在这样的四边形中，等边与底的对边所成的角相等，四边形这一性质的证明不依赖于欧几里德公设。如果它们是直线，则证明了欧几里德的假设，因为在这种情况下，三角形的内角和等于两个直角。但是萨凯里（这是他最初的绝妙想法）还提出了另外两个假设——锐角假设和钝角假设，从这些假设中推导出随之而来的结果，并试图证明这些结果的不可能性，即，只有一个直角假设的可接受性。他很容易地证明了钝角假设是无效的，因为它会导致矛盾。为了在锐角假说中找出同样的矛盾，他推导出了一系列引人注目的定理，这些定理后来又被勒让德再次证明。例如，根据这些定理，如果一个或另一个或第三个假设对一个四边形成立，那么它也对任何其他四边形成立。

出现三年后的 1766 年，兰伯特提出了与萨凯里相同的问题。与具有两个直角和两个相等边的四边形不同，Lambert 考虑具有三个直角的四边形，并对第四个角提出三个假设。与萨凯里的论述相比，他的论述有一些特点：他避免诉诸基于连续性的论证。根据在钝角和锐角的假设中没有图形相似性这一事实，兰伯特推断出绝对测度存在的结论。

1799 年，杰出的数学家卡尔·高斯沿着萨凯里和兰伯特在他之前走过的道路——沿着系统推导锐角假设的所有后果的道路前进。但他的思考导致人们怀疑证明欧几里得公理的可能性，到 1816 年，这位数学家确信这样的证明是不可能的。

高斯对欧几里得公理不可证明的舆论没有影响，甚至遭到粗暴的攻击。这就是他决定不发表关于基金会问题的研究和想法的原因之一，“因为害怕维奥提亚人的呐喊”（27 年 1829 月 XNUMX 日给贝塞尔的信）。但他并没有中断他的研究，并以最大的兴趣和同情欢迎那些与他的研究和观点不谋而合的作品和思想。

他在 6 年 1832 月 1797 日写给沃尔夫冈·博利亚伊的信中显示了他在这条道路上走了多远，高斯在信中说，在 1802 年至 180 年期间，他发现了约翰·博利亚伊得出的结果。例如，一个定理的纯几何证明，即在非欧几里得几何中，三角形的角度和与 XNUMX 度的差值与三角形的面积成正比。

高斯的学友沃尔夫冈·博利亚伊对平行线理论表现出极大的兴趣。根据他在 1820 年给儿子的信，这种非同寻常的兴趣毒害了他所有的生活乐趣，使他成为了将几何学从污点中解放出来的烈士，“消除了掩盖处女真理之美的乌云”。但是，尽管他父亲几乎一生的努力都指向了第五公设的证明，而他未能实现这一目标，但他才华横溢的儿子却是非欧几何的创造者之一。

Johann Bolyai 于 1802 年出生于克劳森堡。早在 1807 年，他的父亲就满怀喜悦和自豪地向高斯写信讲述这个男孩非凡的数学能力，他在 14 岁时已经学习了平面测量、立体测量、三角学、圆锥曲线，并且在 1818 岁时他已经在求解轻松解决微积分和积分问题。沃尔夫冈未能将他的儿子与“数学巨人”一起送到哥廷根学习，1823 年约翰进入维也纳工程学院，在那里对高等数学给予了极大的关注。 XNUMX 年，他完成了学院的课程，并作为一名军事工程师被派往 Temetvar 堡垒。

约翰几乎在孩提时就拥有非凡的数学能力，他很自然地决定尝试解决这个让他父亲苦恼的问题，但他的父亲告诉他，谁解决了这个问题，谁就配得上一颗钻石地球的大小。 1820 年，约翰告诉他的父亲，他已经找到了证明公理的方法，然后他的父亲给他写了一封激烈的信，警告他不要从事平行线理论。

在 1823 年的一个冬夜，他发现了从一点到直线的垂线长度与渐近线（平行线）与该垂线所成角度之间的基本关系罗巴切夫斯基)，这是非欧几里得三角学的关键。对他的发现充满热情，在他看来，这似乎为证明公理 XI 开辟了道路，他在 3 月 XNUMX 日从 Temetvar 给他父亲的信中写道：“我从无到有创造了一个新的、不同的世界。到目前为止我发送的所有内容与现在正在建造的塔相比，它只是一个纸牌屋。”

1829 年，沃尔夫冈完成了一篇大型数学论文，他为此工作了大约 1829 年。作为本书的附录，还出版了约翰·博莱埃的不朽著作。当然，博莱埃并不怀疑罗巴切夫斯基在遥远的喀山同时出版了他的第一部作品《几何原理》（XNUMX 年）。

尼古拉·伊万诺维奇·洛巴切夫斯基（1792-1856）出生于下诺夫哥罗德省的马卡列夫斯基区。他的父亲占据了一个县建筑师的位置，属于那些收到微薄内容的小官。 1797 年，他的父亲去世，他 1802 岁的母亲独自一人与孩子们在一起，一无所有。 XNUMX 年，她带着三个儿子来到喀山，并把他们分配到喀山体育馆，在那里她的二儿子的非凡能力很快就被注意到了。

1804年喀山体育馆的高级班改建为大学时，罗巴切夫斯基被列入自然科学系的学生人数。年轻人学习得很好。

罗巴切夫斯基受过良好的教育。天文学讲座由 Litroff 教授朗读。他听了巴特尔斯教授的数学讲座，巴特尔斯教授是卡尔·弗里德里希·高斯等著名科学家的学生。

早在 1811 年，罗巴切夫斯基就获得了硕士学位，他被留在大学准备担任教授职位。 1814年，罗巴切夫斯基获得纯数学副教授的称号，1816年成为教授。

从 1819 年起，罗巴切夫斯基教授天文学。这位科学家的行政活动始于 1820 年，当时他被选为院长。

尽管劳累的实践活动没有留下片刻的休息，罗巴切夫斯基从未停止过他的科学研究，并在他担任校长期间在喀山大学的科学笔记上发表了他的最佳作品。

如果约翰·博利亚伊在父亲的影响下开始研究平行线理论，那么罗巴切夫斯基之所以能够开始研究它，只是因为对这一理论的兴趣在 XNUMX 世纪末和 XNUMX 世纪初特别复活了。

在罗巴切夫斯基的第一部作品出现之前的 30 周年之际，没有一年没有一部或多部关于平行线理论的作品出现。已知多达 1813 部作品，仅在 1827 年至 XNUMX 年间以德文和法文印刷。

勒让德的工作也引起了俄罗斯数学家对平行线理论的兴趣。第一位以出版著作《CE》在俄罗斯数学教学史上获得光荣地位的俄罗斯院士。古列夫在他最重要的著作《几何元素的改进论文》（1798 年出版）中特别关注了平行线理论和勒让德的证明。古里耶夫在批评这些证明时提出了自己的看法。

基于这样的断言，在某些条件下，看起来与我们平行的线可以相交，罗巴切夫斯基得出结论，可以创建一个新的、一致的几何图形。由于在现实世界中无法想象它的存在，科学家称其为“虚几何”。但他和我伯莱艾一样，并没有马上产生这个想法。

1815-1817 年的讲义、1823 年的几何教科书和尚未落到我们头上的“Exposition succincte des principes de la geometrie”，在 12 年 1826 月 1823 日在物理和数学系的一次会议上阅读——这些是罗巴切夫斯基在平行线理论领域思想的三个阶段。在讲座中，他给出了三种不同的方式来证明它的合理性；在 XNUMX 年的一本教科书中，他宣称迄今为止给出的所有证明都不值得在数学的全部意义上得到尊重，最后，三年后，他已经给出了在与欧几里得假设不同的位置上构建几何的系统，这使他的名字永垂不朽。

“博览会”还没有到达我们身边。罗巴切夫斯基的第一部印刷作品，他称之为博览会的摘录，于 1829-1830 年在喀山卫报上出版。这一日期确立了罗巴切夫斯基的发现与 I. Boliai 相比的出版优先权，因为后者的“附录”于 1831 年出版，直到 1832 年才绝版。正如标题“说明”所示，它的主题不仅是平行线的精确理论，而且还致力于几何原理的问题。

尽管 I. Boliai 和 Lobachevsky 都因为这一发现而被选为汉诺威科学院院士，但在西欧获得公民权的是 Lobachevsky 的几何学。

1837 年，罗巴切夫斯基的作品以法语出版。 1840 年，他用德文发表了他的平行理论，得到了伟大的高斯的认可。在俄罗斯，罗巴切夫斯基没有看到对他的科学作品的评价。

显然，罗巴切夫斯基的研究超出了同时代人的理解。有些人不理他，有些人以粗鲁的嘲笑甚至责骂迎接他的工作。而我们另一位才华横溢的数学家奥斯特格勒茨基享有当之无愧的名声，没有人认识罗巴切夫斯基；奥斯特罗格拉茨基本人或嘲讽或敌对地对待他。

非常正确，或者更确切地说，彻底，一种称为罗巴切夫斯基几何恒星几何的几何。如果一个人记得有数千年的光到达地球的恒星，就可以形成无限距离的想法。所以，罗巴切夫斯基的几何学不是把欧几里得的几何学作为一个特例，而是作为一个特例。在这个意义上，第一个可以称为我们已知几何的概括。现在问题来了，罗巴切夫斯基是否拥有第四维度的发明？一点也不。四维和多维几何是由德国数学家、高斯的学生黎曼创造的。对一般形式的空间性质的研究现在构成了非欧几何，或罗巴切夫斯基的几何。罗巴切夫斯基空间是一个三维空间，它与我们的空间不同，欧几里得公设不在其中。现在通过假设第四维度来理解这个空间的属性。但这一步已经属于罗巴切夫斯基的追随者。

自然地，问题就出现了，这样的空间在哪里。二十世纪最大的物理学家给出了答案艾尔伯特爱因斯坦. 根据罗巴切夫斯基和黎曼的假设，他创立了相对论，证实了我们空间的曲率。

根据这一理论，任何物质质量都会弯曲周围的空间。爱因斯坦的理论被天文观测反复证实，结果很明显，罗巴切夫斯基的几何学是关于我们周围宇宙的基本思想之一。

作者：萨明 D.K.

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