费马大定理。科学发现的历史和本质

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皮埃尔·德·费马的一篇讣告说：“他是我们这个世纪最杰出的思想家之一，他是一个如此普遍的天才和如此多才多艺的人，如果不是所有科学家都对他的非凡功绩表示敬意，就很难相信所有的事情有必要对他说这些话，以免错过我们悼词中的任何内容。”

不幸的是，对这位伟大科学家的生平知之甚少。皮埃尔·费马（1601-1665）出生于法国南部博蒙德洛马涅小镇，他的父亲多米尼克·费马是那里的“第二执政官”，即市长助理。

多米尼克·费马（Dominique Fermat）给了他儿子非常扎实的教育。在他家乡的大学里，皮埃尔掌握了多种语言：拉丁语、希腊语、西班牙语、意大利语。随后，他用拉丁文、法文和西班牙文写诗。

费马是著名的古代鉴赏家，他被咨询过希腊经典版本中的困难之处。然而，皮埃尔将他天才的全部力量用于数学研究。然而数学并没有成为他的职业。他那个时代的科学家没有机会完全致力于他们心爱的科学。

农场选举法学。他在奥尔良获得了学士学位。自 1630 年以来，费马移居图卢兹，在那里他获得了议会（即法院）顾问的职位。关于他的法律活动，用一句“值得称赞的词”说，他“以极大的责任心和精湛的技艺，以他那个时代最好的律师之一而闻名”。

在费马的一生中，他的数学工作主要通过他与其他科学家的广泛通信而广为人知。他反复尝试写的文集，从来都不是他创作的。是的，考虑到他在法庭上的辛勤工作，这并不奇怪。他的著作在他的一生中都没有发表过，但是，他给了几篇论文一个完整的外观，并以手稿形式为他同时代的大多数学者所熟知。除了这些论文之外，他的大量和极其有趣的通信仍然存在。在 XNUMX 世纪，当没有专门的科学期刊时，科学家之间的通信发挥了特殊的作用。它设定了任务，报告了解决这些问题的方法，并讨论了尖锐的科学问题。

费马的通讯员是他那个时代最伟大的科学家：笛卡尔、艾蒂安·帕斯卡和 Blaise pascal，德比西，惠更斯，托里切利，瓦利斯。信件要么直接寄给通讯员，要么寄往巴黎，寄给梅森神父（笛卡尔在大学时的同学）；后者将它们相乘并将它们发送给那些处理类似问题的数学家。

费马最早的数学著作之一是修复了两本阿波罗尼乌斯遗失的书《论平坦的地方》。

费马对科学的巨大贡献通常体现在他将无穷小量引入解析几何中，就像之前所做的那样。开普勒关于古人的几何学。他在 1629 年关于最大量和最小量的工作中迈出了重要的一步，这些工作开启了费马最重要的一系列研究，这不仅是一般高等分析发展史上最大的环节之一，而且特别是对无穷小的分析。

1636 年代末，费马发现了求极值和切线的方法，从现代的观点来看，可以归结为求导数。XNUMX 年，该方法的完整介绍转交给梅森，每个人都可以得到认识他。

在费马之前，意大利科学家卡瓦列里开发了计算面积的系统方法。但早在 1642 年，费马就发现了一种计算由任何“抛物线”和任何“双曲线”包围的面积的方法，他证明了无限图形的面积可以是有限的。

费马是最早解决曲线拉直问题的人之一，即计算曲线的长度。他设法将这个问题简化为某些领域的计算。

因此，费马的“面积”概念获得了非常抽象的特征。拉直曲线的问题被简化为面积的确定，他借助代入法将复杂面积的计算简化为简单面积的计算。从这个领域到更抽象的“整体”概念只剩下一步了。

费马还有许多其他成就。他首先想到了坐标的概念，并创造了解析几何。他还处理了概率论的问题。但费马不仅限于数学，他还研究了物理学，他发现了光在介质中的传播定律。

尽管缺乏证据（只有其中一份幸存），但很难高估费马在数论领域的工作的重要性。他独自一人成功地从研究者在研究整数的性质时立即出现的混乱问题和特定问题中挑选出成为整个经典数论核心的主要问题。他还发现了一种证明数论命题的强大通用方法——所谓的不定或无限下降法，这将在下面讨论。因此，费马可以理所当然地被视为数论的创始人。

在 18 年 1640 月 XNUMX 日给德贝西的信中，费马发表了如下声明：如果数字 а 不能被素数整除 р，那么就有这样一个指标 к该 а - 除以 р, 其中 k 是一个除数 р-一。这个陈述被称为费马小定理。它是所有初等数论的基础。欧拉给了这个定理几个不同的证明。

在他的《算术》的第二本书中，丢番图设定了将给定平方表示为两个有理平方之和的任务。在页边空白处，针对这项任务，费马写道：

“相反，不可能将一个立方体分解为两个立方体，也不可能将一个双二次分解为两个双二次，并且通常将任何大于平方的幂分解为具有相同指数的两个幂。我发现了一个真正奇妙的证明这个，但是这些领域对他来说太窄了。” 这就是著名的大定理。

这个定理有一个惊人的命运。在上个世纪，她的研究导致构建了与代数数的算术相关的最微妙和美丽的理论。可以毫不夸张地说，它在数论发展中所起的作用不亚于求解根式方程的问题。唯一不同的是后者已经被伽罗瓦解决了，大定理仍然鼓励数学家去研究。

另一方面，这个定理的简单表述和关于它的“神奇证明”的神秘词汇导致了这个定理在非数学家中的广泛流行，并形成了一个完整的“fermatists”团体，他们在达文波特的话，“有远远超出他们数学能力的勇气。” 因此，就给出的不正确证明的数量而言，大定理是第一位的。

费马自己为四次方留下了大定理的证明。在这里，他采用了一种新方法。费马写道：“由于书本上的常用方法不足以证明如此困难的命题，我终于找到了一种非常特殊的方法来实现它们。我将这种证明方法称为无限或无限下降。”

正是通过这种方法证明了数论的许多命题，特别是在它的帮助下，欧拉证明了 n=4 的大定理（与费马的方法有些不同），20 年后证明了 n= 3.

费马在给卡卡维的信中（1659 年 XNUMX 月）描述了这种方法如下：

“如果有一个整数直角三角形，它的面积等于正方形，那么就会有另一个三角形，比这个小，它具有相同的属性。如果有第二个，比第一个小，它具有相同的性质，那么根据这种推理，将存在比具有相同性质的第二个少三分之一，最后，第四个，第五个，下降到无穷大。但是如果一个数给定，则不存在整数。）由此得出结论，不存在面积为正方形的直角三角形。

费马接着说，经过深思熟虑，他能够将他的方法应用于其他肯定命题的证明。 “但要将这种方法应用于证明其他命题，”IG Bashmakova 写道，“例如，要证明每个数字可以用不超过四个平方的和来表示，就需要应用‘新原理’，费马没有详细说明。列出了费马使用下降法证明的所有定理，包括 n = 3 情况下的大定理。在信的最后，费马表示希望这种方法能够对后来的数学家有用，向他们表明“古人并非无所不知”“不幸的是，这封信仅在 1879 年发表。然而，欧拉从单独的评论中恢复了费马的方法，并成功地将其应用于不定分析问题。特别是，他还拥有 n = 3 大定理的证明。回想一下，第一次尝试证明自然数的立方不可分解为两个立方的和是在 1000 年左右在阿拉伯东部。

下降法再次开始在 A. Poincaré 和 A. Weyl 对丢番图分析的研究中发挥主导作用。目前，为了应用这种方法，引入了高度的概念，即这样一个自然数，它以某种方式与每个有理解相对应。此外，如果可以证明对于高度 A 的每个有理解，都有另一个高度小于 A 的解，那么这将暗示问题在有理数中的不可解性。

所有随后的代数数论直到论文高斯从费马问题出发。在 5500 世纪，与费马大定理和互易定律相关的研究需要扩大算术领域。库默在研究费马大定理时，为某种代数整数建立了算法。这使他能够证明某类素指数n的大定理。目前，大定理的有效性已经验证了所有小于XNUMX的指数n。

我们还注意到，大定理不仅与代数数论有关，而且与代数几何有关，代数几何正在深入发展。

但是一般形式的大定理还没有被证明。因此，我们有权期待这里出现新的思想和方法。

作者：萨明 D.K.

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